论文完成蓝图初步定义

paper/sections/00_abstract.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\begin{abstract}
+    本文拟设计一种新的2048游戏训练流程，最终目的是使用大参数的2D相对位置编码自注意力神经网络，
+    完成对游戏局面的精确估值和决策，并尝试将模型能力由基本的4×4，扩展到3~10之间任意边长、任意长宽比的棋盘尺寸。
+    本文拟设计一种从小参数残差卷积网络（ResNet-style CNN）结合蒙特卡洛树搜索，
+    迁移到中等规模的2D相对位置编码自注意力网络的训练流程，利用CNN+MCTS多次迭代后生成的低噪声高质量数据，
+    指导Transformer模型的高效训练
+
+\end{abstract}
+
+\textbf{关键词：} 2048游戏、深度强化学习、相对位置编码、self-attention、估值策略网络

paper/sections/01_introduction.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\section{引言}
+
+\subsection{研究背景}
+2048游戏自2014年发布以来，因其简单的规则和复杂的策略性而广受欢迎。
+作为一个完全信息的确定性游戏（除了新数字的随机生成），2048为研究自监督人工智能算法提供了一个理想的测试平台。
+
+\subsection{研究动机}
+传统的卷积神经网络(CNN)在处理2048游戏时存在以下局限性：
+\begin{itemize}
+    \item 固定的感受野限制了对全局信息的捕获
+    \item 缺乏对位置关系的显式建模
+    \item 难以处理不同位置间的长距离依赖关系
+\end{itemize}
+
+Self-attention机制的出现为解决这些问题提供了新的思路。通过引入2D相对位置编码，我们可以：
+\begin{itemize}
+    \item 显式建模网格中任意两个位置间的关系
+    \item 捕获全局的状态信息
+    \item 学习位置无关的特征表示
+\end{itemize}
+
+\subsection{符号定义}
+\begin{itemize}
+    \item 棋盘矩阵 $K$
+    \item 矩阵元素 $K_{i,j}$
+    \item 方块数字 $N$
+    \item 对数变化后的方块数字 $N' = \log_2(N)$
+    \item 对数变化后的矩阵 $K'$
+\end{itemize}

paper/sections/02_problem_analyze.tex

@@ -0,0 +1,122 @@
+\section{问题分析}
+
+\subsection{2048游戏特点}
+2048游戏是一个基于网格的数字合并游戏，具有以下特点：
+\begin{itemize}
+    \item 4×4的网格状态空间
+    \item 四个基本动作：上、下、左、右
+    \item 确定性的游戏规则和随机的数字生成
+    \item 指数级增长的状态复杂度
+    \item 决策时可以认为全局无状态性
+    \item 对棋盘进行对称变换对游戏无影响
+\end{itemize}
+
+\subsection{问题及解决思路}
+\subsubsection{棋盘上的数字表示}
+在2048游戏中，方块上的数字呈指数增长（$2^1, 2^2, \dots$）。理论上，在一个 $4 \times 4$ 的棋盘上，可能出现的最大数字为 $2^{17}$。
+这种巨大的范围和稀疏的分布，显然不利于神经网络进行有效学习和泛化。
+
+为了解决此问题，我们可以对棋盘状态进行对数变换。
+令棋盘状态为一个矩阵 $K \in \mathbb{N}$，
+其中 $K_{i,j}$ 表示在 $(i,j)$ 位置的数字，空位记为 $0$。
+我们定义一个新的状态表示矩阵 $K'$，其元素 $K'_{i,j}$ 通过以下映射获得：
+\begin{equation}
+    K'_{i,j} = 
+    \begin{cases} 
+        \log_2(K_{i,j}) & \text{if } K_{i,j} > 0 \\
+        0 & \text{if } K_{i,j} = 0 
+    \end{cases}
+\end{equation}
+通过这种对数变换，我们可以将指数增长的数值尺度压缩到一个线性、紧凑的整数范围。
+这种方法同样适用于任意边长的矩形棋盘。
+
+\subsubsection{棋盘压缩}
+2048棋盘可以看做是一个平面图像，这个图像的8个旋转和镜像结果，
+对于游戏而言是完全等价的。我们将每个图像的二面体群$D_4$的所有等价类进行合并，
+即可显著压缩棋盘表示的空间，避免对等价局面进行重复搜索。
+我们使用以下步骤，将二面体群的所有等价类压缩到同一哈希桶：
+\begin{itemize}
+    \item 对于给定的局面输入，获得其8种变换，覆盖$D_4$的所有元素：
+        \begin{itemize}
+            \item 原始图像 (R0): matrix
+            \item 旋转90° (R90): \texttt{rotate\_90(matrix)}
+            \item 旋转180° (R180): \texttt{rotate\_90(rotate\_90(matrix))}
+            \item 旋转270° (R270): \texttt{rotate\_90(rotate\_90(rotate\_90(matrix)))}
+            \item 水平翻转 (F): \texttt{flip\_horizontal(matrix)}
+            \item 翻转后旋转90° (F+R90): \texttt{rotate\_90(flip\_horizontal(matrix))}
+            \item 翻转后旋转180° (F+R180): \texttt{rotate\_90(rotate\_90(flip\_horizontal(matrix)))}
+            \item 翻转后旋转270° (F+R270): \texttt{rotate\_90(rotate\_90(rotate\_90(flip\_horizontal(matrix))))}
+        \end{itemize}
+    \item 采用行优先方式，将矩阵拉平为1D向量
+    \item 比较这些向量的字典序，将字典序最小的向量作为该图的范式
+    \item 计算哈希，存储到哈希表或者搜索缓存
+\end{itemize}
+这种方案亦可推广到任意矩形棋盘。
+
+\subsubsection{棋盘分数计算}
+对于估值网络而言，一个准确的、有代表性的最终得分，是模型学习的重要依据，也是训练效果的关键因素。
+然而，由于2048可能随机生成2或者4，这使得某一局面的最终分数存在不确定性。但是这不妨碍我们在计算得分时排除掉随机因素。
+在计算盘面得分时，我们假设只会随机生成2，但在蒙特卡洛树搜索时，我们考虑2和4随机出现的概率。
+这样既能够保证模型学习到随机数字情况下的决策，又能显著降低噪声，同时提高缓存命中率。
+
+2048游戏的计分规则为，当两个较小的数字合并为一个较大数字时，增加等值于较大数字的分数 $\Delta S$。
+
+合成一个数字，其奖励分数存在以下对应关系：
+\begin{itemize}
+    \item $\Delta S_4 = 4$
+    \item $\Delta S_8 = 8$
+    \item $\dots$
+    \item $\Delta S_{2^n} = 2^n$
+\end{itemize}
+
+假设游戏仅随机生成数字2，则每个数字的累积分数价值为：
+\begin{itemize}
+    \item $V(2) = 0$ （2不能通过合成得到，其累积分数价值为0）
+    \item $V(4) = 4$
+    \item $V(8) = 4 + 4 + 8 = 16$ （涵盖了合成8用到的2个4的分数价值，以及合成8本身增加的分数价值）
+    \item $V(16) = 16 + 16 + 16 = 48$
+    \item $V(32) = 48 + 48 + 32 = 128$
+    \item $V(64) = 128 + 128 + 64 = 320$
+\end{itemize}
+
+显然，对于一个大于2的数字 $N$，其累积分数价值 $V(N)$ 可以递归地表示为：
+
+\begin{equation}
+    V(N) = V\left(\frac{N}{2}\right) + V\left(\frac{N}{2}\right) + N
+\end{equation}
+
+同时，我们有基础情况：
+\begin{equation}
+    V(2) = 0
+\end{equation}
+
+将数值迁移到对数变化后的矩阵，令 $f(N') = V(2^{N'})$，则有：
+\begin{equation}
+    f(N') = 2 \cdot f(N'-1) + 2^{N'}
+\end{equation}
+
+将递推关系式 $f(N') = 2 \cdot f(N'-1) + 2^{N'}$ 展开：
+\begin{align}
+    f(N') &= 2 \cdot f(N'-1) + 2^{N'} \\
+    &= 2 \cdot [2 \cdot f(N'-2) + 2^{N'-1}] + 2^{N'} \\
+    &= 2^2 \cdot f(N'-2) + 2 \cdot 2^{N'-1} + 2^{N'} \\
+    &= 2^2 \cdot f(N'-2) + 2^{N'} + 2^{N'} \\
+    &= 2^2 \cdot f(N'-2) + 2 \cdot 2^{N'} \\
+    &= \cdots \\
+    &= 2^{N'-1} \cdot f(1) + (N'-1) \cdot 2^{N'} \\
+    &= 2^{N'-1} \cdot 0 + (N'-1) \cdot 2^{N'} \\
+    &= (N'-1) \cdot 2^{N'}
+\end{align}
+
+检查，当$N'=1$，即$N=2$时，有：
+\begin{equation}
+    f(1) = (1-1) \cdot 2^1 = 0
+\end{equation}
+
+该结果符合定义 $V(2) = 0$。
+
+因此上述通项公式涵盖所有情况，数字 $N = 2^{N'}$ 的累积分数价值为：
+\begin{equation}
+    V(N) = (\log_2(N) - 1) \cdot N
+\end{equation}
+

paper/sections/03_training.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+\section{模型训练}
+为了训练一个强大的估值决策模型，我们采用蒙特卡洛树搜索（MCTS）生成高质量的训练数据，并设计一个轻量级的残差卷积网络（RNCNN）进行初步学习与迭代。
+
+\subsection{蒙特卡洛树搜索策略}
+采用纯MCTS（Pure MCTS）为初始模型生成训练数据。MCTS的每次迭代包含四个核心步骤，以当前棋盘状态为根节点，不断扩展搜索树。
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{选择 (Selection)}: 从根节点开始，根据UCT（Upper Confidence bounds applied to Trees）公式递归选择子节点，直到达到一个未完全扩展的叶子节点。UCT公式平衡了节点的探索（Exploration）与利用（Exploitation）：
+    \[ \text{UCT} = \underset{i}{\arg\max} \left( \bar{v}_i + C \cdot \sqrt{\frac{\ln(N)}{n_i}} \right) \]
+    其中 $\bar{v}_i$ 是子节点 $i$ 的平均价值，$N$ 是父节点访问次数，$n_i$ 是子节点 $i$ 访问次数，$C$ 是探索常数。
+    
+    \item \textbf{扩展 (Expansion)}: 当选择过程到达一个叶子节点 $L$ 时，如果该节点代表的局面不是终局，则为其创建一个或多个子节点，对应于从 $L$ 出发所有合法的移动。
+    
+    \item \textbf{模拟 (Simulation)}: 从新扩展的子节点中选择一个，开始进行模拟（也称Rollout）。在此阶段，我们采用快速的随机策略（例如，在所有合法移动中随机选择一个）持续进行游戏，直到达到终局状态。终局的分数将作为本次模拟的价值。
+    
+    \item \textbf{反向传播 (Backpropagation)}: 将模拟得到的终局分数 $v$ 从该叶子节点开始，沿着选择路径反向传播回根节点。路径上的每一个节点都会更新其访问次数 $n$ 和累积价值 $V$，并重新计算其平均价值 $\bar{v} = V/n$。
+\end{itemize}
+
+\subsection{数据结构}
+通过大量的MCTS模拟，我们将叶子节点的信息转换为神经网络可学习的训练样本。每个样本包含：
+\begin{itemize}
+    \item 棋盘状态 $S$：一个 $H \times W$ 的矩阵，代表游戏局面。
+    \item 策略-价值对 $(\pi, v)$：其中 $\pi$ 是从状态 $S$ 出发的一个合法移动（例如：上、下、左、右），$v$ 是在该分支下通过后续模拟所能达到的最高分。
+\end{itemize}
+我们将 $(S, \pi)$ 作为键（key），当一次完整的MCTS模拟结束后，解析所有扩展出的叶子节点。对于每个叶子节点 $(S, \pi)$，其价值 $v$ 等于它后续所有模拟游戏中的最高分。
+\begin{itemize}
+    \item 如果一个键 $(S, \pi)$ 没有命中缓存，则写入 $(S, \pi) \rightarrow v$。
+    \item 如果一个叶子节点的新分数大于缓存中的值，则更新 $(S, \pi) \rightarrow v$。
+\end{itemize}
+在进行指定次数的MCTS模拟后，导出所有缓存的 $(S, \pi) \rightarrow v$ 对，作为最终的训练数据集。
+
+\subsection{残差卷积网络L0}
+RNCNN\_L0 是一个极小的、用于快速推理和迭代的估值决策模型。其设计目标是在有限的计算资源下，学习到基本的局面评估能力。其结构定义如下：
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{输入层 (Input Layer)}:
+    棋盘状态 $S$（一个 $H \times W$ 的矩阵）首先进行特征化处理。我们将每个格子的值 $V$ 转换为 $C$ 个特征平面（channel），每个平面代表一个特定的瓦片值（例如，$V \rightarrow \log_2(V)$，然后进行独热编码）。输入张量的维度为 $(H, W, C)$。
+    
+    \item \textbf{卷积主干 (Convolutional Body)}:
+    输入张量首先通过一个卷积层，然后送入一个由 $N$ 个残差块（Residual Block）组成的序列。
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{初始卷积层}: 一个$3 \times 3$的卷积核，输出64个特征图，进行批量归一化（Batch Normalization）和ReLU激活。
+        \item \textbf{残差块}: 每个残差块包含两个卷积层。输入通过第一个 $3 \times 3$ 卷积层（BN+ReLU），再通过第二个 $3 \times 3$ 卷积层（BN），然后将结果与块的输入相加（残差连接），最后通过一个ReLU激活函数。所有卷积层保持64个通道数。
+    \end{itemize}
+    
+    \item \textbf{输出头 (Output Head)}:
+    残差主干的输出特征图被送入一个最终的输出模块，该模块直接预测四个动作的价值。
+    \begin{itemize}
+        \item 一个 $1 \times 1$ 的卷积层，将通道数从64降至16，进行BN和ReLU激活。
+        \item 将特征图展平（Flatten）成一维向量。
+        \item 一个全连接层（Fully Connected Layer），将向量映射到4个输出神经元，分别对应四个移动方向（上、下、左、右）的预测价值。
+    \end{itemize}
+\end{itemize}
+模型的损失函数采用均方误差（Mean Squared Error），计算网络预测的四通道价值与MCTS生成数据中对应动作的价值 $v$ 之间的差距。
+
+\subsection{模型初始化}
+我们计划在3$\times$3的小棋盘上，依靠纯蒙特卡洛树的快速搜索能力，生成大量的初始数据。小棋盘状态空间较小，MCTS能更快地收敛到有意义的策略，为模型提供高质量的初始训练样本。
+
+\subsection{L0迭代}
+在纯蒙特卡洛生成的数据上学习到的大量初始数据，将提供给RNCNN\_L0进行监督学习训练。训练完成的L0模型可以反过来指导MCTS中的选择和模拟阶段，形成一个自我博弈（self-play）的增强回路，不断迭代优化模型性能。